तब ही आप परीक्षा में पूछे जाने वाले वर्ग (Square) से संबंधित सवालों को आसानी
से हल कर पाएंगे। तो आज हम जानेंगे वर्ग का क्षेत्रफल (varg ka chetrafal), वर्ग
का परिमाप, varg ki paribhasha, varg ka vikarn ka formula और सबसे जरूरी भाग
वर्ग किसे कहते हैं ?(varg kise kahate hain ?) ताकि परीक्षा में आपके वर्ग से
संबंधित एक भी प्रश्न छूट ना पाए।
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| वर्ग (Square) |
वर्ग किसे कहते हैं ? (Varg kise kahate hain ?)
गणित में वर्ग एक आकृति को कहा जाता है जो चारों और से एक समान भुजाओं से घिरी
होती हैं। और जिसके चारों भुजाओं पर बनने वाले चारों कोण एक समान होते हैं तो उसे
वर्ग (varg/square) कहते हैं।
नोट- गणित में वर्ग का अर्थ एक आकृति होती है। लेकिन जब आप इसी शब्द को अन्य
विषयों में देखेंगे तो 'वर्ग' शब्द का उपयोग 'विभाजन' के लिए प्रयोग किया है।
जिससे आप भली-भाँति परिचित है।
वर्ग की परिभाषा (Varg ki paribhasha)
वर्ग की परिभाषा (Square definition in hindi)- चार भुजाओं वाली
आकृति, जिसकी चारों भुजायें बराबर होती है और इन चारों भुजाओं पर बनने वाले कोण
भी बराबर होते हैं, तो उसे वर्ग कहा जाता हैं।
उदाहरण- एक आकृति जिसकी चार भुजायें है और चारों भुजायें 4 cm की है तथा इसके
चारों कोण भी 90० के हैं।
वर्ग का क्षेत्रफल (Varg ka kshetrafal)
जैसा की आपको यह पता है कि आकृति द्वारा घेरे गए क्षेत्र को ही क्षेत्रफल कहा
जाता हैं । उसी प्रकार वर्ग के भुजाओं द्वारा घेरा गया क्षेत्र ही वर्ग का
छेत्रफल (chetrafal) होता है। वर्ग के क्षेत्रफल का formula (सूत्र ) भुजा x भुजा
होता है।
वर्ग का क्षेत्रफल = भुजा x भुजा
यानि की यदि की वर्ग के भुजा का माप 5 cm है तो उसका क्षेत्रफल 5 cm x 5 cm = 25
cm ^2 होगा। चलिए कुछ प्रश्नों को हल कर वर्ग का क्षेत्रफल के सूत्र पर अपना
कमांड कर लेते हैं।
उदाहरण 1:- किसी वर्ग एक एक भुजा का माप 3 cm है तो उस वर्ग का क्षेत्रफल क्या होगा होगा ?
(a.) 10 cm^2
(b.) 8 cm^2
(c.) 9 cm^2
(d.) 12 cm^2
हल:
दिया हुआ है-
भुजा = 3 cm
ज्ञात करना है - वर्ग का क्षेत्रफल
अतः वर्ग का क्षेत्रफल = भुजा x भुजा
= 3 x 3
= 9 cm^2 (विकल्प c)
उदाहरण 2 :- किसी वर्ग का क्षेत्रफल 16 cm^2 है तो उस वर्ग के भुजा का माप क्या होगा ?
(a.) 3 cm
(b.) 5 cm
(c.) 7 cm
(d.) 4 cm
हल:
दिया हुआ है -
वर्ग का क्षेत्रफल = 16 cm ^2
ज्ञात करना है - वर्ग की भुजा का माप
अतः वर्ग का क्षेत्रफल = भुजा x भुजा
⇒ 16 = (भुजा)^2
⇒ भुजा = √16
⇒ भुजा = 4 cm (d.)
वर्ग का परिमाप (Varg ka pairmap)
भुजाओं के मापों के योग को ही परिमाप कहा जाता है। अतः वर्ग के चारों भुजाओं के
मापों का योग ही वर्ग का परिमाप होगा होगा। और वर्ग के परिमाप का formula (सूत्र)
बराबर [4 x भुजा] होता है।
वर्ग का परिमाप = 4 x भुजा
यदि कोई वर्ग 6 cm भुजा वाला है तो उसका परिमाप 24 cm होगा। चलिए कुछ प्रश्नों को
हल कर वर्ग का परिमाप के सूत्र पर भी अपना कमांड कर लेते हैं।
उदाहरण 1:- किसी वर्ग का परिमाप 24 cm है तो उस वर्ग की भुजा का माप क्या होगा ?
(a.) 4 cm
(b.) 6 cm
(c.) 5 cm
(d.) 2 cm
हल:
दिया हुआ है-
वर्ग का परिमाप = 24 cm
ज्ञात करना है - वर्ग की भुजा का माप
अतः वर्ग का परिमाप = 4 x भुजा
⇒ 24 = 4 x भुजा
⇒ भुजा = 24 / 4
⇒ भुजा = 6 cm (b.)
उदाहरण 2:- किसी वर्ग के भुजा का माप 2 cm है तो उस वर्ग का परिमाप क्या होगा ?
(a.) 8 cm
(b.) 6 cm
(c.) 4 cm
(d.) 2 cm
हल:
दिया हुआ है -
भुजा का माप = 2 cm
ज्ञात करना है - वर्ग का परिमाप
अतः वर्ग का परिमाप = 4 x भुजा
= 4 x 2
= 8 cm (a.)
वर्ग का विकर्ण (Varg ka vikarn)
वर्ग का विकर्ण वर्ग को दो समकोण त्रिभुजों में विभाजित कर देता है। varg ka
vikarn ka formula barabar √2 s होता है।
वर्ग का विकर्ण (d) = s √2
तो चलिए अब यह जान लेते है की वर्ग का विकर्ण √2 s कैसे होता है ?
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वर्ग का विकर्ण निकालने के लिए निम्नलिखित steps को फॉलो करेंगे-
- सर्वप्रथम एक वर्ग ABCD को लिया
- जिसमे सभी भुजाओं AB, BC, CD और AD का माप s है।
- वर्ग का विकर्ण AD का माप d है।
- अब समकोण त्रिभुज ACD को लेंगे। जिसमे AC = d , CD= s और AD = s
- अब पायथागोरस थीओरम का उपयोग कर विकर्ण AD का मान ज्ञात करेंगे-
त्रिभुज ACD में-
⇒ AD^2 = CD^2 + AC^2
⇒ AD = √ CD^2 + AC^2
⇒ d = √ s^2 + s^2
⇒ d = s √2
वर्ग का विकर्ण = s √2
चलिए कुछ वर्ग के विकर्ण से संबंधित कुछ प्रश्नों को हल कर varg ka vikarn ka
formula पर कमांड कर लेते हैं।
उदाहरण 1 :- किसी वर्ग के भुजाओं का माप 4 cm है तो उसके विकर्ण का माप क्या होगा ?
(a.) 5. 64 cm
(b.) 4. 65 cm
(c.) 2. 64 cm
(d.) 6. 24 cm
हल:
दिया हुआ है -
वर्ग के भुजा का माप = 4 cm
ज्ञात करना है - विकर्ण का माप
अतः विकर्ण = s√2
= √2 x 4
= 1.41 x 4
= 5.64 cm (a.)
उदाहरण 2 :- किसी वर्ग के विकर्ण का माप 16 cm है तो उस वर्ग के भुजाओं का माप क्या होगा ?
(a.) 12.33 cm
(b.) 13. 313 cm
(c.) 14. 214 cm
(d.) 11. 313 cm
हल:
दिया हुआ है -
विकर्ण का माप = 16 cm
ज्ञात करना का है - भुजा का माप
हम जानते है की - विकर्ण^2 = भुजा^2 + भुजा^2
⇒ d^2 = s^2 + s^2
⇒ d^2 = 2 s^2
⇒ 16^2 = 2 s^2
⇒ 256 / 2 = s^2
⇒ 128 = s^2
⇒ s = √128
⇒ s = 11. 313 cm (d.)
वर्ग का गुणधर्म (Properties of Square)
वर्ग एक चार समान भुजाओं वाली आकृति है जिसके सभी कोण समान यानि की 90० के होते
है। वर्ग के कुछ गुणधर्म भी है जो नीचे दिए हुए है -
- वर्ग के चारों भुजायें समान होती है।
- वर्ग की विपरीत भुजायें एक दूसरे के लम्बवत होती है।
- वर्ग के चारों आंतरिक कोण 90 ० के होते हैं ।
- सभी आंतरिक कोणों का योग 360 ० होता है।
- एक वर्ग में दो विकर्ण हो सकते है और दोनों विकर्णों का माप बराबर होता है।
- विकर्ण वर्ग को दो समकोण त्रिभुजों में विभाजित कर देता है।
- विकर्ण वर्ग को सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित कर देता है।
वर्ग से संबंधित कुछ महत्वपूर्ण प्रश्न
1. किसी वर्ग का क्षेत्रफल 64 cm^2 है तो उस वर्ग का परिमाप क्या होगा ?
(a.) 32 cm
(b.) 34 cm
(c.) 44 cm
(d.) 35 cm
हल:
दिया हुआ है -
वर्ग का क्षेत्रफल = 64 cm^2
ज्ञात करना है - वर्ग का परिमाप
नोट- इस प्रश्न को हल करने के लिए सबसे पहले हमे वर्ग के क्षेत्रफल के सूत्र
द्वारा भुजा को ज्ञात करना होगा और फिर भुजा के माप का प्रयोग कर हम वर्ग का
परिमाप निकाल लेंगे ।
अतः वर्ग का क्षेत्रफल = (भुजा)^2
⇒ 64 = (भुजा)^2
⇒ भुजा = √64
⇒ भुजा = 8 cm
वर्ग का परिमाप = 4 x भुजा
= 4 x 8
= 32 cm (a.)
2. किसी वर्ग का परिमाप 36 cm है तो उस वर्ग का क्षेत्रफल क्या होगा ?
(a.) 91 cm^2
(b.) 82 cm^2
(c.) 92 cm^2
(d.) 81 cm^2
हल:
दिया हुआ है-
वर्ग का परिमाप = 36 cm
ज्ञात करना है - वर्ग का क्षेत्रफल
नोट- पिछले वाले प्रश्न की तरह इस प्रश्न में भी हम सबसे पहले वर्ग के परिमाप
द्वारा भुजा को ज्ञात करेंगे और फिर वर्ग का क्षेत्रफल को निकलेंगे।
अतः वर्ग का परिमाप = 4 x भुजा
⇒ 36 = 4 x भुजा
⇒ भुजा = 9 cm
वर्ग का क्षेत्रफल = (भुजा)^2
= (9)^2
= 81 cm^2 (d.)
3. किसी वर्ग का विकर्ण 24 cm है तो उस वर्ग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ।
(a.) 455 cm^2
(b.) 500 cm^2
(c.) 289 cm^2
(d.) 525 cm^2
हल:
दिया हुआ है -
वर्ग का विकर्ण = 24 cm
ज्ञात करना है- वर्ग का क्षेत्रफल
⇒ d^2 = 2 s^2
⇒ (24)^2 = 2s^2
⇒ 576 = 2s^2
⇒ s^2 = 576/2
⇒ s^2 = 288
⇒ s = √288
⇒ s = 16.97
⇒ s ≈ 17cm
वर्ग का क्षेत्रफल = भुजा x भुजा
= 17 x 17
= 289 cm^2 (c.)
4. किसी वर्ग का विकर्ण 36 cm है तो उस वर्ग का परिमाप ज्ञात कीजिए ।
(a.) 110 cm
(b.) 100 cm
(c.) 105 cm
(d.) 109 cm
हल:
दिया हुआ है-
वर्ग का विकर्ण = 36 cm
ज्ञात करना है - वर्ग का परिमाप
⇒ d^2 = 2 s^2
⇒ (36)^2 = 2s^2
⇒ 1296 = 2 s^2
⇒ 1296/2 = s^2
⇒ 648 = s^2
⇒ s = √648
⇒ s = 25.45 cm
⇒ s ≈ 25 cm
वर्ग का परिमाप = 4 x भुजा
= 4 x 25
= 100 cm (b.)
5. उस वर्ग का क्षेत्रफल, परिमाप और विकर्ण ज्ञात कीजिए जिसका भुजा का माप 24 cm है।
(a.) 576 cm^2 , 100 cm, 78 cm
(b.) 600 cm^2, 96 cm, 35 cm
(c.) 576 cm^2, 96 cm, 33.84 cm
(d.) 600 cm^2, 96 cm, 34. 65 cm
हल:
दिया हुआ है -
वर्ग के भुजा का माप = 24 cm
ज्ञात करना है- वर्ग का परिमाप, क्षेत्रफल, विकर्ण
वर्ग का क्षेत्रफल = भुजा x भुजा
= 24 x 24
= 576 cm^2
वर्ग का परिमाप = 4 x भुजा
= 4 x 24
= 96 cm
वर्ग का विकर्ण = s √2
= 24 x 1.41
= 33.84 cm
Ans - (c.)
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQ)
Q: वर्ग किसे कहते हैं ?
चार भुजाओं वाली वैसी आकृति जो चार समान भुजाओं से घिरी रहती है तथा जिसके सभी कोण 90 ० के होते हैं, उसे वर्ग कहते हैं।
Q: वर्ग का विकर्ण का फार्मूला क्या होता है ?
वर्ग के विकर्ण का फार्मूला (सूत्र ) s√2 होता है।
Q: विकर्ण वर्ग को कितने भागों में विभाजित कर देता है ?
विकर्ण वर्ग को दो भागों में विभाजित कर देता है जिसमे से दोनों समकोण त्रिभुज होते हैं ।
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आशा करता हूँ अब आपको वर्ग से संबंधित सभी डाउट क्लीर हो गए होंगे। यदि अभी भी
कोई प्रश्न है तो उसे कमेन्ट कर अवश्य पूछे।
