समांतर चतुर्भुज - क्षेत्रफल, परिमाप, परिभाषा एवं गुण | Samantar Chaturbhuj

समांतर चतुर्भुज (Parallelogram)- Samantar Chaturbhuj भी चतुर्भुज का ही एक प्रकार होता है। समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल (kshetrarfal/chetrafal/area), परिभाषा, गुण भी चतुर्भुज के अन्य प्रकारों से अलग होते है। हालकि इन सभी में कुछ समानताए भी होती है क्योंकि ये सभी है तो एक चतुर्भुज (जिसके चार भुजा होते है) का प्रकार ही। 

तो आज हम जानेंगे की samantar chaturbhuj kise kahate hain?, samantar chaturbhuj ka kshetrafal (chetrafal/area) ka formula , samantar chaturbhuj ka parimap ताकि आपके जितने भी प्रश्न समांतर चतुर्भुज से संबंधित है वो सभी समाप्त हो जाए। 

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समांतर चतुर्भुज 

इस आर्टिकल में आप सीखेंगे-


समांतर चतुर्भुज किसे कहते हैं ?


जैसा की यह शब्द को ही पढ़कर पता चल जा रहा है की चार भुजाओं वाली वैसी आकृति जिसके सभी आमने-सामने की भुजाये और कोण  बराबर होती है, उसे समांतर चतुर्भुज कहते हैं। 

सरल भाषा में कहे तो चतुर्भुज का वह प्रकार जिसके आमने-सामने वाली भुजा एक-दूसरे के बराबर होती है, समांतर चतुर्भुज कहलाता है। यदि आपको अभी भी इसमे कोई डाउट है तो आगे samantar chaturbhuj के चित्र को देखकर वो डाउट भी क्लेयर हो जाएगा। 

समांतर चतुर्भुज की परिभाषा (Definition of parallelogram in hindi)-
चार भुजाओं वाली वैसी आकृति जिसके आमने-सामने वाली भुजा तथा कोण बराबर होती है, उसे समांतर चतुर्भुज कहा जाता है। 

उदाहरण- आयत, वर्ग और सम चतुर्भुज samantar chaturbhuj के उदाहरण है। 

समांतर चतुर्भुज के गुण 


अन्य चतुर्भुजों की तरह समांतर चतुर्भुज के भी कुछ गुण है जिनका वर्णन नीचे किया गया है -
  • समांतर चतुर्भुज के आमने-सामने की भुजायें समांतर होती है। 
  • समांतर चतुर्भुज की आमने- सामने की भुजायें बराबर होती है। 
  • समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को दो समान भागों में विभाजित करते हैं। 
  • समांतर चतुर्भुज के आमने-सामने वाली कोण भी एक-दूसरे के बराबर होती है। 
  • समांतर चतुर्भुज के विकर्ण चतुर्भुज को दो त्रिभुज में विभाजित कर देते हैं। 
तो ये है कुछ गुण जो समांतर चतुर्भुज में पाए जाते है। या कहे की समांतर चतुर्भुज की ये विशेषता है। 

समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल 


समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल अन्य चतुर्भुजों के क्षेत्रफल की तरह जटिल नहीं है। यदि हमे समांतर चतुर्भुज की आधार और ऊँचाई ज्ञात हो तो हम आसानी से समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल निकाल सकते है। तो चलिए अब जानते है समांतर चतुर्भुज के area ka formula व्युत्पन्न (derive) कैसे हुआ। 

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क्षेत्रफल को derive करने के लिए नीचे दिए गए इन steps को फॉलो करते है-
  • सर्वप्रथम एक समांतर चतुर्भुज PQRS लिया गया। 
  • समांतर चतुर्भुज में एक विकर्ण PR डाला गया जो इसे दो त्रिभुजों में विभाजित करता है। 
  • अब हमे तो त्रिभुज PQR और PRS प्राप्त हुआ। 
  • त्रिभुज PRS के आधार SR पर एक लंब PO डाला गया। 
  • अब इन दोनों त्रिभुजों के क्षेत्रफल को निकलेंगे। 
  • दोनों त्रिभुज एक ही प्रकार के है। इसलिए हम एक matematical term का उपयोग करेंगे। 
  • दोनों त्रिभुज एक ही प्रकार के है जिनमे-
⇒ PS = QR (समांतर भुजा)
⇒ PQ = SP (समांतर भुजा)
⇒ PR = PR (उभयनिष्ट भुजा)

अतः SSS की कसौटी से - 
⇒ ar (△PQR) = ar (△PSR)

अतः त्रिभुज PSR का क्षेत्रफल -
= ½ x आधार x ऊँचाई 
= ½  x SR x PO

 समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = 2 x त्रिभुज  का क्षेत्रफल 
= 2 x ½ x SR x PO
= SR x PO
= b x h 

अतः समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = b x h 

जहाँ, b = आधार 
        h = ऊँचाई 

चलिए समांतर चतुर्भुज के एक प्रश्न को देख लेते है जो उसके क्षेत्रफल पर आधारित है। 
उदाहरण: 6 cm ऊँचाई और 4 cm आधार वाले किसी समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। 

हल: दिया हुआ है-
h= 6 cm, b = 4 cm

ज्ञात करना है - समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल 

अतः समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = b x h 
= 4 x 6 
= 24 cm ^2 

समांतर चतुर्भुज का परिमाप/ परिमिति 


जैसा की आप सभी जानते हो कि परिमाप अर्थात सभी भुजाओं का योग । और समांतर चतुर्भुज में केवल आमने-सामने वाली भुजायें ही बराबर होती है। अतः समांतर चतुर्भुज का परिमाप/परिमिति भी आमने-सामने वाली भुजाओं का ही योग होगा। 

अतः समांतर चतुर्भुज का परिमाप = 2 x (a +b)

जहाँ, a = एक समान माप वाले भुजाओ की लंबाई 
        b = दूसरे माप वाले भुजाओं की लंबाई

चलिए अब समांतर चतुर्भुज के सवाल/प्रश्न को देख लेते है जो उसके परिमाप पर आधारित है। 

उदाहरण: किसी समांतर चतुर्भुज की आमने-सामने की भुजायें क्रमशः 6 cm और 4 cm की है तो उस चतुर्भुज का परिमाप क्या होगा ?

हल: दिया हुआ है - 
a = 6 cm और b = 4 cm 

ज्ञात करना है - समांतर चतुर्भुज का परिमाप 

अतः समांतर चतुर्भुज का परिमाप = 2 x (a + b)
= 2 x (6 + 4)
=2 x 10 
= 20 cm Ans. 

समांतर चतुर्भुज के अभ्यास प्रश्न 


1. किसी समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल 22 cm^2 है तथा उसकी ऊँचाई 11 cm की है तो उसका आधार क्या होगा ?

हल: दिया हुआ है -
क्षेत्रफल = 22 cm ^2 और h = 11 cm 

ज्ञात करना है - समांतर चतुर्भुज का आधार = ?

अतः समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = b x h 
⇒ 22 = b x 11 
⇒ b = 22/11 
⇒ b = 2 cm Ans. 

2. समांतर चतुर्भुज ABCD में कोण A का मान 120 डिग्री है तो उसके सामने वाले कोण C का मान क्या होगा ?

हल: दिया हुआ है -
समांतर चतुर्भुज ABCD में ∠ A = 120०  

ज्ञात करना है - सामने वाले कोण C का मान 

जैसा की हम समांतर चतुर्भुज के गुण के अनुसार यह जानते है की समांतर चतुर्भुज के आमने- वाले कोण एक-दूसरे के बराबर होते हैं । 

इसलिए , ∠ A = ∠ C = 120० 

अतः ∠ C = 120० Ans. 

3. एक समांतर चतुर्भुज के एक भुजा का माप 4 cm है तथा उसका परिमाप 12cm है तो उसके दूसरे भुजा का माप क्या होगा ?

हल: दिया हुआ है- 
परिमाप = 12 cm और a = 4 cm 

ज्ञात करना है - दूसरी भुजा (b) = ?

अतः समांतर चतुर्भुज का परिमाप = 2 x (a + b)
⇒ 12 = 2 x (4 + b)
⇒ 6 = 4 + b
⇒ b = 6 - 4
⇒ b = 2 cm Ans.

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQ)


Q: समांतर चतुर्भुज और आयत में क्या अंतर है ?

उत्तर: जैसा की आपने पढ़ा की सभी समांतर चतुर्भुज के सभी पार्ट  आयत से पूरी तरह मिलते-जुलते है। पर अभी फिर भी इन दोनों चतुर्भुजों में कुछ अंतर है जैसे- समांतर चतुर्भुज की भुजा एक-दूसरे पर 90० का कोण नहीं बनाते है। जबकि आयत के भुजा बनाते है। और दूसरा अंतर यह है की समांतर चतुर्भुज के दोनों विकर्ण की लंबाई बराबर नहीं होती है परंतु आयत के विकर्णों की लंबाई बराबर होती है। 

Q: क्या आयत एक समांतर चतुर्भुज है ?

उत्तर: हाँ, आयत एक समांतर चतुर्भुज है क्योंकि आयात की आमने-सामने की भुजायें और कोण एक-दूसरे से बराबर होते हैं । 

Q: क्या समांतर चतुर्भुज के सभी कोण बराबर होते हैं ?

उत्तर: नहीं, समांतर चतुर्भुज के सभी कोण बराबर नहीं होते है, लेकिन समांतर चतुर्भुज के सभी कोणों का योग 360० होता है। 

इसे भी पढे-
आशा करता हूँ की आपको आपको samantar chaturbhuj kise kahate hain?, samanatar chaturbhuj ka kshetrafal से संबंधित सभी doubt clear हो गए होंगे। यदि अभी भी कोई डाउट है तो उसे कमेन्ट box में अवश्य पूछे। और यह आर्टिकल आपको helpful लगा तो इसे अपने दोस्तों के साथ शेयर कर उनका भी care करे। 
धन्यवाद!

समचतुर्भुज - क्षेत्रफल, परिमाप व परिभाषा (जाने 2 min में) | Sam Chaturbhuj

सम चतुर्भुज (Sam Chaturbhuj)- चतुर्भुज यह शब्द सुनकर ही हमारे मन में यह आ जाता है की चतुर्भुज माना चार भुजा पर केवल इतना ही काफी नहीं है। इसके अलावा भी चतुर्भुज के ही एक प्रकार सम चतुर्भुज में कई सारी प्रश्ने  छुपी हुई है। जैसे - sam chaturbhuj kise kahate hai ?, सम चतुर्भुज का क्षेत्रफल , समचतुर्भुज का परिमाप,  समचतुर्भुज की परिभाषा। 

समचतुर्भुज से रिलेटेड यह सभी प्रश्न उठने भी चाहिए। क्योंकि यह काफी महत्वपूर्ण है। तो चलिए जानते है sam chaturbhuj ka chetrafal/ kshetrafal 

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समचतुर्भुज का क्षेत्रफल 

इस आर्टिकल में आप सीखेंगे-


समचतुर्भुज किसे कहते हैं ?


समचतुर्भुज (Rhombus) दो शब्दों के मेल से बना है सम + चतुर्भुज अर्थात चार भुजाओं वाली वैसी आकृति जिसके चारों भुजाओं समान हो। अब आपको यह पता चल ही गया होगा की sam chaturbhuj kise kahate hain ? तो चलिए अब समचतुर्भुज की परिभाषा को जान लेते हैं। 

सम चतुर्भुज की परिभाषा (Definition of Rhombus in hindi)- 
वैसी आकृति जिसकी चार भुजायें हो और सभी भुजायें समान हो, तो उस चार समान भुजाओं वाली आकृति को सम चतुर्भुज कहते हैं। 

सम चतुर्भुज का क्षेत्रफल (Area/Chetrafal/ Kshetrafal)


जैसा की हम परिभाषा के अनुसार यह जानते है की चार भुजाओं वाली आकृति जिसके चारों भजायें समान हो समचतुर्भुज कहलाती है। तो चलिए अब इसी definition को ध्यान में रखते हुए sam chaturbhuj ka chetrafal निकालते है। क्योंकि जब यह पता रहेगा की sam chaturbhuj का kshetrafal कैसे निकलता है तो इसे भूलने पर भी आप स्वयं आसानी से निकाल सकते हो। 


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PQRS एक समचतुर्भुज है ।

क्षेत्रफल को निकालने के लिए हम नीचे दिए गए निम्न steps को follow करेंगे-
  • सर्वप्रथम हमने एक समचतुर्भुज PQRS लिया । 
  • इस चतुर्भुज में हमने दो विकर्ण QR और PS खिचा। 
  • इन दोनों विकर्णों का केंद्र बिन्दु O है। 
  • ये दोनों विकर्ण आपस में एक-दूसरे पर 90 डिग्री का कोण बना रहे है। 
  • दो विकर्ण खिचने पर हमे दो त्रिभुज भी प्राप्त हुए जिनमे से एक त्रिभुज PQR और दूसरा QRS है। तथा इन दोनों की ऊँचाई क्रमशः PO और OS है। 
अब समचतुर्भुज का क्षेत्रफल derive करने के लिए इन दोनों समकोण त्रिभुजों के क्षेत्रफल का योग निकलेंगे। तो चलिए निकालते है-

= त्रिभुज PQR का क्षेत्रफल + त्रिभुज QRS का क्षेत्रफल 
= 1/2 x आधार x ऊँचाई + 1/2 x आधार x ऊँचाई 
= 1/2 x QR x OP + 1/2 x QR x OS
= 1/2 x QR (OP + OS)
= 1/2 x QR x PS

जहाँ QR और PS को हमने इस समचतुर्भुज का विकर्ण बनाया था। 


अतः समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = 1/2 x d1 x d2


जहाँ d1 = पहला विकर्ण 
        d2 = दूसरा विकर्ण 

उदाहरण: किसी चतुर्भुज के दो विकर्णों का माप 2 cm और 6 cm है तो उस समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। 

हल: दिया हुआ है- 
d1 = 2 cm , d2 = 6cm 

ज्ञात करना है- सम चतुर्भुज का क्षेत्रफल 

अतः समचतुर्भुज का क्षेत्रफल =  = 1/2 x d1 x d2
= 1/2 x 2 x 6
= 6 cm^2 Ans.

सम चतुर्भुज का परिमाप (Perimeter) 


जैसा की आपको यह पता है की परिमाप अर्थात भुजाओं का योग। इसलिए सम चतुर्भुज का परिमाप भी सम चतुर्भुज के चारों भुजाओं का योग होगा। 

अतः समचतुर्भुज का परिमाप = 4 x s

जहाँ s = भुजा का माप  

उदाहरण: उस सम चतुर्भुज का परिमाप ज्ञात कीजिए जिसकी भुजा का माप 4 cm है। 

हल: दिया हुआ है - 
भुजा का माप (s) = 4 cm 

ज्ञात करना है- सम चतुर्भुज का परिमाप 

अतः समचतुर्भुज का परिमाप = 4 x s 
= 4 x 4 
= 16 cm Ans. 

अभ्यास प्रश्न -


1. किसी समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। यदि विकर्ण 7 cm और 14 cm है। 

हल: दिया हुआ है- 
पहला विकर्ण = 7 cm , दूसरा विकर्ण = 14 cm 

ज्ञात करना है- समचतुर्भुज का क्षेत्रफल 

अतः समचतुर्भुज का क्षेत्रफल =  = 1/2 x d1 x d2
= 1/2 x 7 x 14
= 49 cm^ 2 Ans. 



2. यदि सम समचतुर्भुज का परिमाप 40 cm है तो उसके भुजा का माप क्या होगा ? 

हल: दिया हुआ है- 
परिमाप = 40 cm 

ज्ञात करना है - सम चतुर्भुज का परिमाप 

अतः समचतुर्भुज का परिमाप = 4 x s 
40 = 4 x s
s = 10 cm Ans. 

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQ)


Q: समचतुर्भुज क्या होता है ?

उत्तर: चार भुजाओं वाली आकृति जिसकी सभी भुजाये समान हो तो वह आकृति समचतुर्भुज होती है। 

Q: समचतुर्भुज का क्षेत्रफल क्या होता है ?

उत्तर: समचतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके विकर्णों के गुणनफल के आधे के बराबर होता है। 

इसे भी पढे- 

आशा करता हूँ की आपको sam chaturbhuj kise kahate hain ?, sam chaturbhuj ka area ka formula बढ़िया तरीके से ज्ञात हो गया होगा। यदि यह जानकारी आपको वास्तव में अच्छी लगी तो इसे अपने मित्रों के साथ जरूर share करे। 
धन्यवाद! 

समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल, परिमाप और परिभाषा | Samkon tribhuj किसे कहते हैं ?

समकोण त्रिभुज- जैसा कि आप सभी जानते हो की किसी भी त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालने के लिए हमे हमे samkon tribhuj ka kshetrafal/ chetrafal की आवश्यकता होती है। और समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल से रिलेटेड कई सारे प्रश्न competitive exams और general exams में पूछे जाते है। 

इसलिए हमे यह पता होना चाहिए की samkon tribhuj kise kahate hain, samkon tribhuj ka kshetrafal(area) ka formula और samkon tribhuj ka parimap क्या होता है ? ताकि exam में समकोण त्रिभुज से पूछे गए एक भी सवाल हम miss ना कर सके। 

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समकोण त्रिभुज 

इस आर्टिकल में आप सीखेंगे-

समकोण त्रिभुज किसे कहते हैं ? 

समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल को जानने से पहले यह जानना जरूरी है की समकोण त्रिभुज (Right Angle Triangle) होता क्या है ? तो वैसे त्रिभुज समकोण होते है जिनका एक कोण 90° का होता है। 

समकोण त्रिभुज की परिभाषा (Definition of right angle triangle in hindi)- 
वैसे त्रिभुज जिनका एक कोण 90°(पूरक) का होता है तथा अन्य दो न्यून कोणो का योग 90° होता है उसे, समकोण त्रिभुज कहते हैं। 

Note:- 
  1. वैसे कोण जिनका मान 90° से कम होता है, उसे न्यून कहा जाता है। 
  2. जिस कोण का मान 90° होता है उसे पूरक और जिसका मान  180° होता है उसे संपूरक कहा जाता है।

समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल 


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समकोण त्रिभुज के परिभाषा के अनुसार हम यह जानते है कि 90° के कोण वाले त्रिभुज को ही समकोण त्रिभुज कहा जाता है। अतः समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र व्युत्पन्न (derive) करने के लिए चित्र के अनुसार हमने एक ∆ABC लिया। और नीचे दिए गए steps को follow किया-
  • ∆ABC में एक बिंदु A से एक लंब बिंदु B पर डाला गया।
  • AB के समांतर एक रेखा CD खींचा गया तथा BC के समांतर एक रेखा AD खींचा गया। 
  • उपरोक्त स्टेप्स को follow करने के बाद हमे एक समांतर चतुर्भुज ABCD प्राप्त हुआ।
  • लंब AE के खींचने के बाद हमे दो समकोण त्रिभुज ∆ABD और ∆ADC प्राप्त हुआ। अब हम इन दोनो त्रिभुजो में से किसी एक त्रिभुज को लेंगे। 

अतः समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल  = 

उदाहरण: ABC एक समकोण त्रिभुज है। जिसका आधार 4 cm 4 cm और ऊंचाई 6 cm है तो उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। 

हल: दिया हुआ हैं-
आधार =  4 cm, ऊंचाई = 6 cm

ज्ञात करना है- समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल।

अतः समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2 x b x h
= 1/2 x 4 x 6
= 12 cm^2 Ans.

समकोण त्रिभुज का परिमाप 


आप यह तो जानते ही होंगे कि भुजाओं के योग को ही परिमाप कहा जाता है।

अतः समकोण त्रिभुज के सभी भुजाओं का योग ही समकोण त्रिभुज का परिमाप होगा। 

अतः समकोण त्रिभुज का परिमाप = a + b + c


उदाहरण: किसी त्रिभुज की तीनों भुजाए क्रमशः 5cm, 8cm और 7cm है तो उस त्रिभुज का परिमाप क्या होगा ?

हल: दिया हुआ है- 
a = 5 cm, b= 8cm और c = 7 cm

ज्ञात करना है-  समकोण त्रिभुज का परिमाप।

अतः समकोण त्रिभुज का परिमाप = a + b + c
= 5 + 8 + 7
= 20 cm  Ans.

अभ्यास प्रश्न 


1. किसी त्रिभुज का एक कोण 90° का है तथा उसका आधार और ऊंचाई क्रमशः 6cm और 12cm है तो उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। 

हल: दिया हुआ है- 
आधार = 6cm , ऊंचाई = 12cm और कोण = 90°
अतः यह एक समकोण त्रिभुज है।
 
ज्ञात करना है- समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल।

समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2 x b x h
= 1/2 x 6 x 12
= 36 cm^2 Ans.

2. एक समकोण त्रिभुज PQR का क्षेत्रफल 32 cm^2 है। जिसमे आधार 8 cm है तो उस त्रिभुज का ऊँचाई ज्ञात कीजिए। 

हल: दिया हुआ है- 
क्षेत्रफल = 32 cm^2  और आधार (b) = 8 cm 

ज्ञात करना है - समकोण त्रिभुज की ऊँचाई । 

अतः समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2 x b x h 
32 = 1/2 x 8 x h 
4 h = 32 
h = 32/4 
h = 8 cm Ans. 

3. किसी समकोण त्रिभुज का परिमाप 16 cm है तथा उसके ऊँचाई और आधार का योग 9 cm है तो उसके कर्ण की लंबाई ज्ञात कीजिए । 

हल: दिया हुआ है- 
परिमाप = 16 cm, आधार + ऊँचाई (b + h/ a + b) = 9 cm 

ज्ञात करना है- कर्ण (तीसरी भुजा/ c) = ?

अतः समकोण त्रिभुज का परिमाप = a + b + c 
16 =  9 + c 
c = 16 - 9 
c = 7 cm Ans. 

4. उस समकोण त्रिभुज का आधार ज्ञात कीजिए जिसका क्षेत्रफल 48 cm^2 और ऊँचाई 12 cm है। 

हल: दिया हुआ है- 
क्षेत्रफल = 48 cm^2 और ऊँचाई = 12 cm 

ज्ञात करना है - आधार (b) = ? 

अतः समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2 x b x h 
48 = 1/2 x b x 12 
48 = 6 b 
b = 8 cm Ans. 

5. एक समकोण त्रिभुज का परिमाप 18 cm है तथा उसकी दो भुजाए 6 cm और 8 cm की है तो उसकी तीसरी भुजा का माप क्या होगा ?

हल: दिया हुआ है-
परिमाप = 18 cm, a = 6 cm और b = 8 cm 

ज्ञात करना है - तीसरी भुजा (c) = ? 

अतः समकोण त्रिभुज का परिमाप = a + b + c 
18 = 6 + 8 + c 
18 = 14 + c 
c = 18 - 14 
c = 4 cm Ans. 

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQ)-


Q: समकोण त्रिभुज की परिभाषा क्या है ?

उत्तर: वैसे त्रिभुज जिसका एक कोण 90 डिग्री का तथा अन्य दो न्यून कोणों का योग 90 डिग्री हो तो वह त्रिभुज न्यून कोण कहलाता है। 

Q: किसी त्रिभुज में कितने न्यून कोण और कितने अधिक कोण हो सकते हैं ?

उत्तर: किसी भी त्रिभुज ज्यादा से ज्यादा 2 न्यून कोण और एक अधिक कोण हो सकता है। क्योंकि त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180 डिग्री होता है। 

इसे भी पढे- 

आशा करता हूँ की आपको samkon tribhuj ka kshetrafal/ chetrafal और samkon tribhuj ka parimap अच्छे से समझ आ गया होगा और ये आपको याद भी हो गए होंगे। यदि आपको यह आर्टिकल पसंद आया तो इसे अपने दोस्तों एवं मित्रों के साथ जरूर share करे। 
धन्यवाद!

समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल और परिमाप | Samdibahu tribhuj

समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल भी अन्य त्रिभुजों की भाँति यानि की समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल (1/2 x आधार x ऊँचाई) के जरिए निकाला जाता है। इस samdibahu tribhuj ka kshetrafal/chetrafal थोड़ा समझने में कठिन होता है जिसकी वजह से ज्यादातर students इसे याद नहीं रख पाते है। 

पर इस पोस्ट को पढ़ने के बाद आप samdibahu tribhuj ka area ka formula को भूल नहीं पाएंगे। क्योंकि आज इस सूत्र की व्युत्पत्ति कैसे हुई है उसे जानेंगे। और जब सूत्र की व्युत्पत्ति (derivation) का concept clear हो जाएगा तो फिर samdwibahu tribhuj ka kshetrafal भूलना असंभव होगा। 

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समद्विबाहु त्रिभुज 

इस आर्टिकल में आप सीखेंगे-


समद्विबाहु त्रिभुज किसे कहते हैं ?


समद्विबाहु त्रिभुज (Isosceles Triangle) की दो भुजायें समान और तीसरी भुजा असमान होती है और इसी प्रकार इसके कोण भी समान और तीसरा असमान होती है। 

समद्विबाहु त्रिभुज की परिभाषा (Definition of isosceles triangle in hindi)- 
वैसे त्रिभुज जिनकी दो भुजायें और दो कोण बराबर तथा तीसरी भुजा और कोण बराबर नहीं होते है, उसे  समद्विबाहु त्रिभुज कहते हैं। 

उदाहरण-
एक त्रिभुज PQR  जिसकी दो भुजायें PQ और PR तथा कोण Q और R बराबर है। 

समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल 


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समद्विबाहु त्रिभुज के परिभाषा के अनुसार ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसकी भुजा AB और AC बराबर है। तो चलिए अब samdwibahu tribhuj ka kshetrafal ka sutra व्युत्पन्न (derive) करते है। 

  • ABC एक त्रिभुज है जिसमे भुजा AB और AC बराबर तथा BC अलग है। 
  • AB = AC = a  तथा BC= b लिया गया। 
  • भुजा BC पर बिन्दु A से एक लंब h बिन्दु D पर डाला गया। 
  • भुजा BC को दो भागों BD और DC में विभाजित किया गया। जहाँ BD = DC = b/2 है। 
  • उपरोक्त दी हुई प्रक्रियाओं को करने के बाद हमे त्रिभुज ABC में दो समकोण त्रिभुज ABD और ADC प्राप्त हुए। 
  • अब हम समकोण त्रिभुज ADC को लेंगे। और pythagoras theoram के जरिए h यानि की त्रिभुज के कर्ण को निकलेंगे। 
अतः समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = 

b = असमान भुजा की ल० 
a = समान भुजा की ल० 
 
उदाहरण: एक समद्विबाहु त्रिभुज जिसकी समान भुज की लंबाई 4 cm और असमान भुजा की लंबाई 2 cm है तो उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। 

हल: दिया हुआ है- 
a = 4 cm और b = 2 cm है । 

ज्ञात करना है - समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ? 
अतः समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल =  

= 2/4 x √ 4 x (4)^2 - (2)^2
= 1/2 x √ 64 - 4
= 1/2 x √60
= 1/2 x 2 √15
= √ 15 cm^2 Ans.

समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप 


आपको यह तो पता होगा ही की भुजाओं के योग को ही परिमाप कहा जाता है। 

अतः समद्विबाहु त्रिभुज के भुजाओं का योग ही समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप होगा। 

समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप = भुजा + भुजा + भुजा 
= (2 x समान भुजा की लंबाई ) + असमान भुजा की लंबाई 
=  2a +b 

समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप = 2a + b 


उदाहरण: एक समद्विबाहु त्रिभुज जिसकी दो भुजाओं का माप 2 cm और तीसरी भुजा का माप 3 cm है तो उस त्रिभुज का परिमाप ज्ञात कीजिए। 

हल : दिया हुआ है-
a = 2 cm और b = 3 cm 

ज्ञात करना है- समद्विबाहु त्रिभुज  का परिमाप 

अतः समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप = 2a + b 
= 2 x 2 + 3 
= 7 cm Ans. 

अभ्यास प्रश्न 


1. एक समद्विबाहु त्रिभुज जिसकी दो भुजायें 6 cm की है और तीसरी भुज 4 cm की है तो उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। 

हल: दिया हुआ है-
a = 6 cm और b = 4 cm 

ज्ञात करना है- समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल 

अतः समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = 
= 4/4 √ 4 x (6)^2 - (4)^2
= √ 144 - 16
= √ 128
= 8 √2 cm^2 Ans.

2. किसी समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप 14 cm है तथा उसके असमान भुजा की लंबाई 4 cm है तो उस त्रिभुज की समान भुजा की लंबाई ज्ञात कीजिए। 

हल: दिया हुआ है- 
त्रिभुज का परिमाप = 14 cm और b = 4 cm 

ज्ञात करना है - त्रिभुज के समान भुजा की लंबाई । 

अतः समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप = 2a + b
14 = 2a + 4
2a = 14 - 4
2a = 10 
a = 5 cm 

अतः समान भुजा की लंबाई = 5 cm Ans. 

3. किसी समद्विबाहु त्रिभुज के समान भुजा की लंबाई 6 cm  है और उसका परिमाप 16 cm है तो उस त्रिभुज के असमान भुजा की लंबाई ज्ञात कीजिए। 

हल: दिया हुआ है- 
a = 6 cm और परिमाप = 16 cm 

ज्ञात करना है - असमान भुजा की लंबाई 

अतः समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप = 2a + b 
16 = 2 x 6 + b 
16 = 12 + b 
b = 16 - 12 
b = 4 cm Ans. 

अतः असमान भुजा की लंबाई (b) = 4 cm Ans. 


4. एक समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके समान भुजाओं की लंबाई 8 cm और असमान भुजाओं की लंबाई 6 cm है। 

हल: दिया हुआ है-
a = 8 cm और b = 6 cm 

ज्ञात करना है - समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल
अतः समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = 

= 6 / 4 √ 4 x (8)^2 - (6)^2
= 3/ 2 √ 256 - 36
= 3/ 2 √ 220
= 3/ 2 x 2 √ 55
= 3 √55 cm^2 Ans.


5. उस समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या होगा यदि उसके समान और असमान भुजाओं का माप क्रमशः 10 cm और 2 cm है । 

हल: दिया हुआ है -
a = 10 cm 
b = 2 cm 

ज्ञात करना है- समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल । 

अतः समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल =  
= 2 /4 √ 4 (10)^2 - (2)^2
= 1/ 2 √ 400 - 4
= 1/ 2 √ 396
= 1/ 2 x 2 √99
= √99 cm^2 Ans. 

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQ) -


Q: समद्विबाहु त्रिभुज की परिभाषा क्या होती है ?
उत्तर: जिन त्रिभुजों के दो भुजायें और दो कोण बराबर तथा तीसरी भुजा और तीसरी कोण बराबर नहीं होते है तो वह त्रिभुज समद्विबाहु त्रिभुज कहलाता है । 

Q: समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल का क्या महत्व है ?
उत्तर: समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल (1/2 x b x h) होता है। अतः इसी क्षेत्रफल के जरिए अन्य त्रिभुजों का क्षेत्रफल ज्ञात किया जाता है। 

इसे भी पढे-

आशा करता हूँ की अब आपके दिमाग में samdibahu tribhuj ka kshetrafal और samdwibahu tribhuj ka parimap छप गया होगा। और आपको इस समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल को कही भी खंगालने की दरकार नहीं होगी। यदि यह आर्टिकल आपको अच्छा लगा तो इसे अपने friends के साथ जरूर share करे। क्योंकि share में ही care है। 
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विषमबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल, परिमाप, परिभाषा, उदाहरण | Vishambahu tribhuj

विषमबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल (chetrafal/ kshetrafal)- अक्सर विद्यार्थी गणित के उन प्रश्नों को हल करने में नाकाम या confuse हो जाते है जिनमे त्रिभुज का क्षेत्रफल पूछा जाता है। क्योंकि समकोण त्रिभुज को छोड़कर बाकी जितने भी त्रिभुज है उन सभी त्रिभुजों का क्षेत्रफल का सूत्र थोड़ा कठिन है जिससे की students अक्सर इसमें उलझ जाया करते है। 

विद्यार्थियों के इसी समस्या के समाधान के लिए Vishwa Sewa पर सभी त्रिभुजो के क्षेत्रफल को विस्तार से समझाया गया है जिससे की कोई भी एक बार पढ़ ले तो उसके दिमाग में ही छप जाएगा। तो आज हम विषमबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल (vishambahu tribhuj ka kshetrafal/ chetrafal) को पूरे विस्तार से और formula के derivation को भी जानेंगे। 

visham bahu tribhuj ka kshetrafal/chetrafal ka sutra, paribhasha, udaaharan
विषमबाहु त्रिभुज 


इस आर्टिकल में आप सीखेंगे -


विषमबाहु त्रिभुज किसे कहते हैं ? 


विषमबाहु त्रिभुज को उन त्रिभुजों के category में रखा जाता है जिसमे त्रिभुज के सभी भुजाओं का माप एक-दूसरे से अलग होते है और साथ ही साथ उनके सभी कोण भी अलग-अलग होते है। 

विषमबाहु त्रिभुज की परिभाषा (Definition of Scalene Triangle in hindi)- 
वैसे त्रिभुज जिनके सभी भुजाओं का माप और कोण अलग-अलग होते है, उसे विषमबाहु त्रिभुज कहा जाता है।

उदाहरण- 
एक त्रिभुज के भुजायें AB, BC और AC अलग-अलग है तथा उनका कोण A, B और C भी अलग है। 

विषमबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल 


visham bahu tribhuj ka parimap aur kshetrafal/chetrafal tatha paribahsha
त्रिभुज ABC एक विषमबाहु त्रिभुज है। 

विषमबाहु त्रिभुज के परिभाषा के अनुसार त्रिभुज ABC एक विषमबाहु त्रिभुज है जिसकी सभी भुजायें अलग-अलग है। अब चलिए इसी त्रिभुज के जरिए विषमबाहु त्रिभुज का formula (सूत्र) व्युत्पन्न करते है। 

  • त्रिभुज ABC एक त्रिभुज है। जिसकी भूजायें AB = a, BC = c तथा  CA = b है। 
  • BC  पर बिन्दु A एक शीर्षलम्ब h खिचा गया। 
  • भुजा BC को दो भागों x और (c - x ) में विभाजित कर दिया गया। 
  • लंब डालने के बाद हमे दो समकोण त्रिभुज प्राप्त हुए। 
  • अब इन्ही दो समकोण त्रिभुजों पर pythagoras theorem को apply करेंगे। 
  • तब हमे दो equation प्राप्त होगा। 

 विषमबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल

नोट:- विषमबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्र को हिरोन का सूत्र भी कहा जाता हैं। 
उदाहरण- एक त्रिभुज PQR जिसकी भूजायें PQ, QR और PR क्रमशः 4cm , 2 cm और 4 cm है। तो उस त्रिभुज का क्षेत्रफल निकाले। 

हल: दिया हुआ है -
  
त्रिभुज PQR में-
PQ = 4cm
QR = 2cm
PR = 4 cm 

अतः यह एक विषमबाहु त्रिभुज है-

s= a+b+c/2
= 4+2+4/2
=5 
विषमबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल- 

= √5(5-4)(5-2)(5-4)
=√5*1*3*1
=√15 cm^2 Ans.

विषमबाहु त्रिभुज का परिमाप 


विषमबाहु त्रिभुज के परिमाप को जानने से पहले यह जानना जरूरी है की परिमाप का क्या अर्थ होता है ?
परिमाप को यदि सरल भाषा में समझे तो - भुजाओं के योग/सम को परिमाप कहा जाता है। 

अतः विषमबाहु त्रिभुज का परिमाप = a + b + c
 

उदाहरण - किसी विषमबाहु त्रिभुज की भुजाएं 2 cm , 5cm और 7 cm है तो उस त्रिभुज का परिमाप क्या होगा ?

हल: दिया हुआ है -
भुजाओं का माप- 2 cm, 5 cm और 7 cm 

अतः विषमबाहु त्रिभुज का परिमाप = भुजा + भुजा + भुजा 
= 2 + 5 + 7
= 14 cm Ans.

अभ्यास प्रश्न

 
1. किसी त्रिभुज की भूजायें 5 cm , 6 cm और 3 cm है तो उस त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या होगा ?

हल: दिया हुआ है-
भुजाओं का माप = 5 cm, 6 cm और 3 cm 

अतः यह एक विषमबाहु त्रिभुज है । और हमे क्षेत्रफल निकालने के लिए s निकालना होगा । 
इसलिए  s = a + b + c / 2
= 5 + 6 + 3/ 2 
= 14/ 2 
= 7 cm
विषमबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल =    

= √ 7 (7-5) (7- 6) (7- 3)
= √ 7 * 2 * 1 * 4
=√ 56
= 2√14 cm^2 Ans.

2. एक विषमबाहु त्रिभुज जिसकी दो भुजाओं का माप क्रमशः 4 cm और 8 cm है। तथा उस त्रिभुज का परिमाप 20 cm है। तो उस त्रिभुज की तीसरी भुजा का माप क्या होगा ?

हल: दिया हुआ है- 
दो भुजाओं का माप- 4 cm और 8 cm तथा 
त्रिभुज का परिमाप= 20 cm 

ज्ञात करना है- विषमबाहु त्रिभुज की तीसरी भुजा का माप । 

अतः विषमबाहु त्रिभुज का परिमाप = भुजा + भुजा + भुजा 
20 = 4 + 8 + भुजा 
भुजा = 20 - 12 
= 8 cm Ans. 
3. विषमबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी भुजाओं का माप क्रमशः 7 cm, 9 cm और 4 cm है तो उस त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या होगा ?

हल: दिया हुआ है-
भुजाओं का माप- 7 cm , 9 cm और 4 cm 

ज्ञात करना है- विषमबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल 

s = a + b + c/ 2
s = 7 + 9 + 4 / 2
s= 20 /2
s= 10 cm

अतः विषमबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = 
= √ 10 (10-7) (10-9) (10-4)
= √ 10 * 3 * 1 * 6
= √ 180
= 6√5 cm^2 Ans.

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQ)


1. विषमबाहु त्रिभुज किसे कहते हैं ?

उत्तर: वो सभी त्रिभुज जिसकी सभी भुजायें और कोण अलग-अलग होते है, तो उन त्रिभुजों को विषमबाहु त्रिभुज कहा जाता हैं । 

2. किसी भी त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्र की व्युत्पत्ति कैसे होती है ?

उत्तर: किसी भी त्रिभुज के क्षेत्रफल की व्युत्पत्ति समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल 1/2 * आधार * ऊँचाई से होती है। 

इसे भी पढे-

आशा करता हूँ की अब आप विषमबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल (visham bahu tribhuj ka kshetrafal/chetrafal) क्या होता है ? कभी नहीं भूलेंगे। यदि यह जानकारी आपको अच्छी लगी तो इसे अपने friends के साथ जरूर share करे। ताकि वो भी vishambahu tribhuj से संबंधित सभी प्रश्नों को clear कर सके। 

धन्यवाद!