त्रिभुज का क्षेत्रफल 📐- सूत्र (formula), प्रकार और परिभाषा | Tribhuj ka chetrafal

त्रिभुज का क्षेत्रफल (kshetrafal) -  अक्सर यह देखा जाता है कि स्टूडेंट किसी अन्य आकृति के क्षेत्रफल को बड़ी आसानी से याद रख लेते है। लेकिन जब बात tribhuj ka chetrafal कि आती तो उसमे स्टूडेंट्स पिछड़ते दिखाई देते है। जिसका कारण है त्रिभुज के बारे में कम जानकारी होना। इसलिए आज हम त्रिभुज के बारे में विस्तार एवं सटीकता से चर्चा करेंगे।

त्रिभुज का क्षेत्रफल का फार्मूला को जानने से पहले यह जानना जरूरी है कि त्रिभुज का क्षेत्रफल की परिभाषा और प्रकार जिससे कि हम त्रिभुज के क्षेत्रफल को लंबे समय तक याद रख सके। तो चलिए जानते है Area of triangle in hindi (त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या होता है ?) 

त्रिभुज का क्षेत्रफल 

इस आर्टिकल में आप सीखेंगे -

• त्रिभुज का क्षेत्रफल की परिभाषा 
• त्रिभुज के प्रकार 
• समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र 
• समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र 
• समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र 
• विषमबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र 
• महत्वपूर्ण प्रश्न 
• अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQ)

क्षेत्रफल कि परिभाषा 

दो unit होते है विशेषकर एक परिमाप यानि कि Perimeter और दूसरा क्षेत्रफल यानि कि Area और परिमाप का अर्थ होता है भुजाओं का योग लेकिन क्षेत्रफल का अर्थ होता है वो क्षेत्र जिसे कोई आकृति अपने कैप्चर में करती है।  

परिमाप को mm, cm, m, in इत्यादि में मापा जाता है। तथा क्षेत्रफल को mm^2, cm^2, m^2, in^2 आदि इकाइओ में मापा जाता है। 

त्रिभुज का क्षेत्रफल की परिभाषा- जब त्रिभुज की तीनों भुजाएं आपस में मिलकर जितने क्षेत्र यानि की जगह को घेरती है उसे त्रिभुज का क्षेत्रफल कहा जाता है। 

तथा त्रिभुज के क्षेत्रफल के unit भी mm^2, cm^2, m^2, in^2 इत्यादि होते हैं। 

त्रिभुज का क्षेत्रफल आमतौर पर त्रिभुज के आधार (base) और उचाई (height) के आधे के बराबर होता है। अर्थात Area of triangle in hindi = 1/2 x आधार  x उचाई 

त्रिभुज के प्रकार 

यदि त्रिभुज के प्रकार कि बात करे तो त्रिभुज मुख्यतः छः प्रकार का होता है। और त्रिभुज को विभाजित करने के लिए दो आधार लिए गए है -

1. त्रिभुज की भुजाओं का आधार 
2. त्रिभुज के कोणों का आधार 

त्रिभुज के भुजाओं के आधार पर -

भुजाओं के आधार पर त्रिभुज को पुनः तीन भागों में बाँटा गया है-

1. समबाहु त्रिभुज 
2. समद्विबाहु त्रिभुज 
3. विषमबाहु त्रिभुज 

त्रिभुज के कोणों के आधार पर-

कोणों के आधार पर त्रिभुज को फिर से तीन भागों में बाँटा गया है-

1. न्यूनकोण त्रिभुज 
2. समकोण त्रिभुज 
3. अधिककोण त्रिभुज 

समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र (formula)

त्रिभुज LMN एक समकोण त्रिभुज (Right Angle Triangle) है जिसमे ∠ M  90°  का है तथा अन्य दो कोण L और M दोनों न्यून कोण है जिनका योग भी 90° के बराबर है। इसलिए त्रिभुज की ऊँचाई लंब के बराबर है। 

समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल = 

उदाहरण :- एक त्रिभुज जिसका एक कोण 90° का है तथा उसकी भूजायें 3 cm और 4 cm है उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। 

उत्तर: दिया हुआ है - 

त्रिभुज का कोण = 90° 

भुजाएँ = 3cm और 4cm 

ज्ञात करना है-

 त्रिभुज का क्षेत्रफल 

त्रिभुज का कोण 90°  है इसका मतलब यह है कि यह एक समकोण त्रिभुज है। 

अतः समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र = 1/2 × आधार × ऊँचाई 

                                                            = 1/2 × 3 × 4 

                                                            = 6 cm^ 2 Ans. 

समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र (formula)

त्रिभुज ABC एक समबाहु त्रिभुज (Equilateral triangle) है। क्योंकि इसकी भुजाए AB, BC तथा AC आपस में एक-दूसरे के बराबर है । तथा इसके सभी कोण 60° के बराबर है। अतः 

समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल का सूत्र = 

उदाहरण:- एक त्रिभुज जिसकी सभी भुजायें 2 cm है तथा उसके कोण भी 60° की है अब आप इस  त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। 

उत्तर: दिया हुआ है-

त्रिभुज का कोण = 60° 

त्रिभुज की भुजायें = 2 cm 

ज्ञात करना है- त्रिभुज का क्षेत्रफल 

प्रश्न में दिए गए त्रिभुज के कोण और भुजाओं को देखकर यह पता चल जाता है कि यह एक समबाहु त्रिभुज है। 

अतः समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल= √3/ 4 × (भुजा)^ 2 

                                                          = √3/ 4 × (2)^ 2 

                                                          = √3 cm^ 2 Ans. 

समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल और परिमाप को विस्तार से derivation के साथ जानने के लिए इसे भी पढे-

• समबाहु त्रिभुज 

समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र (formula) 

समद्विबाहु त्रिभुज (Isosceless Triangle) ABC में भुजा AB और AC एक दूसरे के बराबर है तथा BC बराबर नहीं है। दो भुजाओं के बराबर होने से इनके दो कोण भी बराबर है । अतः 

समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = 

उपरोक्त सूत्र में a समान लंबाई के भुजाओं को माना गया है तथा b जो भुजा असमान है उसे माना गया है। 

समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल (kshetrafal) के derivation और परिमाप को जानने के लिए इस आर्टिकल को पढे-

• समद्विबाहु त्रिभुज 

उदाहरण:- एक त्रिभुज जिसकी दो भूजायें 2 cm और एक भुजा 5 cm की है। तो इस त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या होगा ?

उत्तर: दिया हुआ है-

त्रिभुज की दो भुजाओं का माप क्रमश: = 2 cm तथा आसमान भुजा का माप = 5 cm 

ज्ञात करना है- त्रिभुज का क्षेत्रफल 

परिभाषा में हमने देखा कि जिस त्रिभुज की दो भुजाओं का माप समान तथा तीसरी भुजा का माप आसमान हो तो वह समद्विबाहु त्रिभुज कहलाती है । 

अतः समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल =  a/4 √4b^2 -√a^2 

                                                    = 4/4  × √4 (5)^2 - √(4)^2 

                                                    = 2 √21 cm ^ 2  Ans. 

विषमबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र (formula)

विषमबाहु त्रिभुज (Scalene Triangle) PQR में भुजाएँ PQ, QR तथा PR आपस में एक दूसरे से बिलकुल भी नहीं मिलती है तथा इनके कोण भी एक-दूसरे से भिन्न-भिन्न है। इसलिए विषमबाहु त्रिभुज का सूत्र भी अन्य त्रिभुजों के सूत्र से भिन्न है।  विषमबाहु त्रिभुज के सूत्र को ज्ञात करने के लिए हीरोन के सूत्र का प्रयोग किया जाता है।  

विषमबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = 

आइए हिरोन के सूत्र का प्रयोग करना सिख लेते है-

हिरोन का सूत्र है - √s(s-a)(s-b)(s-c)

जिसमे s सभी भुजाओं के योग का आधा है । इसे त्रिभुज की अर्धपरिधि के नाम से जाना जाता है।  

s = [a + b + c] / 2 

तथा a, b और c भुजाओं का माप है। 

विषमबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल और परिमाप के derivation को विस्तार से जानने के लिए इस आर्टिकल को पढे-

• विषमबाहु त्रिभुज 

महत्वपूर्ण प्रश्न 

1. शीर्षलम्ब किसे कहते है ? तथा किसी त्रिभुज में कितने शीर्षलम्ब हो सकते है ?

उत्तर: जब किसी त्रिभुज के ऊपरी छोर से उसके सम्मुख भुज पर लंब खिचा जाता है तो खिचा हुआ लंब शीर्षलंब कहलाता है। 

 किसी भी त्रिभुज में ज्यादा से ज्यादा 3 शीर्षलम्ब हो सकते है। 

2. किसी समकोण त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा कौन सी होती है ?

उत्तर: समकोण त्रिभुज की बात करे तो इस त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा इसकी कर्ण होती है। और ठीक इसके सामने वाली कोण 90°  की होती है। 

3. एक त्रिभुज के कितने अवयव होते है ? उन सभी के नाम लिखे । 

उत्तर: एक त्रिभुज के छः अवयव होते है-

1. तीन भुजायें 
2. तीन कोण 

4. किसी त्रिभुज के सभी कोण 60° के है तथा उनके एक भुजा का माप 2 cm है। तो उस त्रिभुज का     क्षेत्रफल निकले । 

उत्तर: दिया हुआ है-

   त्रिभुज का कोण = 60° 

   एक भुजा का माप = 2 cm 

ज्ञात करना है - त्रिभुज का क्षेत्रफल 

त्रिभुज के कोण को देखकर यह पता चल जा रहा है कि यह एक समबाहु त्रिभुज है अतः इसकी सभी भुजायें 2 cm की है। 

हम जानते है - 

समबाहु त्रिभुज का फार्मूला = √3 /4 ×  (भुजा)^2 

                                                     =  √3 /4 ×  (2)^2 

                                                     = √3 cm^2 Ans. 

5. किसी त्रिभुज के दो भूजायें 3 cm की है तथा उसका एक कोण 70°  का है तथा इसकी तीसरी भुजा का माप 2 cm है, तो इस त्रिभुज का क्षेत्रफल तथा अन्य दो कोणों का मान ज्ञात करे ।

उत्तर: दिया हुआ है-

         त्रिभुज की दो भुजाओं की माप = 3 cm 

         तीसरी भुज का माप = 2 cm 

            एक कोण = 70° 

ज्ञात करना है की-

त्रिभुज का क्षेत्रफल = ?

अन्य दो कोणों का माप = ? 

परिभाषा के अनुसार हम जानते है की जिस त्रिभुज की दो भूजायें बराबर होती है वो समद्विबाहु त्रिभुज कहलाता है। अतः हमे समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना है । 

समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल =  a/4 √4b^2 -√a^2 

                                                      =  2/4 × √ 4 (3)^2 - √(2)^2 

                                                      = 2√2 cm^2 Ans. 

 

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQ) 

Q: त्रिभुज के क्षेत्रफल की क्या परिभाषा है ?

उत्तर: त्रिभुज के तीनों भुजायें मिलकर जीतने जगह को घेरती है। तो वो घेरा हुआ जगह ही त्रिभुज का क्षेत्रफल कहलाता है। 

Q: त्रिभुज का क्षेत्रफल आधार और ऊँचाई के गुणनफल के आधे के बराबर क्यों होते हैं ?

उत्तर: भुजायें के आधार पर बाटे गये त्रिभुजों का क्षेत्रफल उपरोक्त शर्तों के आधार पर ही व्युत्पन्न किये जाते है। इसलिए आमतौर पर सभी त्रिभुजों का क्षेत्रफल आधार और ऊँचाई के गुणनफल के आधे के बराबर होते है। 

इसे भी पढे-

• वास्तविक संख्या 
• सम संख्या 
• अभाज्य संख्या 
• पूर्णांक संख्या 
• पूर्ण संख्या 

NOTE:- मुझे पूरी उम्मीद है की आपको tribhuj ka chetrafal से संबंधित सभी डाउट clear हो गई होंगी। पर फिर भी यदि कोई डाउट है तो उसे कमेन्ट बॉक्स में अवश्य पुछे। तथा इस प्रकार की और जानकारी के लियें Vishwa Sewa पर जरूर visit करे।  

Author : Mohit Kumar

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